ল.সা.গু এবং গ.সা.গু: স্বর্ণ সূত্র এবং সমস্যা সমাধান কৌশল
জানুন কীভাবে ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে গ.সা.গু নির্ণয় করবেন, মৌলিক উৎপাদক দিয়ে ল.সা.গু বের করবেন এবং ভগ্নাংশ ও বীজগাণিতিক রাশির অনুপাত ভিত্তিক সমস্যা সমাধান করবেন
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু কী?
গণিতে দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং মৌলিক ধারণা হলো গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)। এই দুটি ধারণা শুধুমাত্র সংখ্যা তত্ত্বে নয়, বরং বীজগণিত, জ্যামিতি এবং দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।
প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদরা সংখ্যার এই বৈশিষ্ট্যগুলো আবিষ্কার করেন এবং বিভিন্ন পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন যা আজও আমরা ব্যবহার করি। বিসিএস এবং অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষায় এই বিষয়ের ওপর নিয়মিত প্রশ্ন আসে, তাই এই ধারণাগুলো ভালোভাবে বোঝা অত্যন্ত জরুরি।
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু / GCD)
দুই বা ততোধিক সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) হলো সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা প্রদত্ত সব সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। ইংরেজিতে একে বলা হয় Greatest Common Divisor (GCD) বা Highest Common Factor (HCF)। এটি মূলত সেই সর্বোচ্চ সংখ্যা যা দুই বা ততোধিক সংখ্যার উৎপাদক হিসেবে সাধারণভাবে বিদ্যমান।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি ১২ এবং ১৮ সংখ্যা দুটি নিই, তাহলে উভয় সংখ্যাকে ১, ২, ৩ এবং ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়। এই চারটি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বড় হলো ৬, তাই ১২ এবং ১৮ এর গ.সা.গু হলো ৬।
উদাহরণ: ১২ এবং ১৮ এর গ.সা.গু
১২ এর উৎপাদক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
১৮ এর উৎপাদক: ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
সাধারণ উৎপাদক: ১, ২, ৩, ৬
গ.সা.গু = ৬ (সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক)
গ.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি
গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। প্রতিটি পদ্ধতিরই নিজস্ব সুবিধা আছে এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। ছোট সংখ্যার জন্য মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি সহজ হলেও বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে ইউক্লিডীয় পদ্ধতি অনেক দ্রুত এবং কার্যকর।
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিতে আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে তার মৌলিক উৎপাদক দিয়ে প্রকাশ করি, তারপর সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম ঘাত নিয়ে গুণ করি। এটি একটি নিয়মতান্ত্রিক পদ্ধতি যা সব ধরনের সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য।
- 1.প্রতিটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক নির্ণয় করুন
- 2.সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলো চিহ্নিত করুন
- 3.সাধারণ উৎপাদকের ক্ষুদ্রতম ঘাত নিয়ে গুণ করুন
উদাহরণ: ১২ এবং ১৮ এর গ.সা.গু
১২ = ২² × ৩¹
১৮ = ২¹ × ৩²
সাধারণ মৌলিক উৎপাদক: ২ এবং ৩
গ.সা.গু = ২¹ × ৩¹ = ২ × ৩ = ৬
২. ইউক্লিডীয় পদ্ধতি (বিভাগ পদ্ধতি):
প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড এই পদ্ধতি আবিষ্কার করেন প্রায় ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে। এটি একটি অত্যন্ত দক্ষ এবং কার্যকর পদ্ধতি, বিশেষ করে বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে। এই পদ্ধতিতে আমরা বারবার ভাগ করতে থাকি যতক্ষণ না ভাগশেষ শূন্য হয়। এই পদ্ধতির সৌন্দর্য হলো এটি খুব দ্রুত কাজ করে এবং মৌলিক উৎপাদক বের করার প্রয়োজন হয় না।
- 1.বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন
- 2.ভাগশেষ দিয়ে ভাজককে ভাগ করুন
- 3.এভাবে চালিয়ে যান যতক্ষণ না ভাগশেষ ০ হয়
- 4.শেষ ভাজকটিই হবে গ.সা.গু
উদাহরণ: ৪৮ এবং ১৮ এর গ.সা.গু
৪৮ ÷ ১৮ = ২, ভাগশেষ = ১২
১৮ ÷ ১২ = ১, ভাগশেষ = ৬
১২ ÷ ৬ = ২, ভাগশেষ = ০
গ.সা.গু = ৬
লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু / LCM)
দুই বা ততোধিক সংখ্যার লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা প্রদত্ত সব সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। ইংরেজিতে একে বলা হয় Least Common Multiple (LCM)। এটি গ.সা.গু এর ঠিক বিপরীত ধারণা - গ.সা.গু যেখানে সর্বোচ্চ ভাজক খুঁজে বের করে, সেখানে ল.সা.গু খুঁজে বের করে সর্বনিম্ন গুণিতক।
দৈনন্দিন জীবনে ল.সা.গু এর ব্যবহার অনেক। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ঘটনা যদি বিভিন্ন সময় ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি হয়, তাহলে কতক্ষণ পর তারা একসাথে ঘটবে তা বের করতে ল.সা.গু ব্যবহার করা হয়। যেমন, একটি বাস প্রতি ৪ মিনিটে এবং অন্যটি প্রতি ৬ মিনিটে আসলে, তারা প্রতি ১২ মিনিট পর একসাথে আসবে (৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ১২)।
উদাহরণ: ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু
৪ এর গুণিতক: ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ...
৬ এর গুণিতক: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ...
সাধারণ গুণিতক: ১২, ২৪, ৩৬, ...
ল.সা.গু = ১২ (ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক)
ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি
ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি গ.সা.গু এর পদ্ধতির সাথে অনেকটা মিল থাকলেও একটি মূল পার্থক্য আছে। গ.সা.গু তে আমরা সাধারণ উৎপাদকের ক্ষুদ্রতম ঘাত নিই, কিন্তু ল.সা.গু তে আমরা সকল উৎপাদকের বৃহত্তম ঘাত নিই। এই পার্থক্যটি বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিতে আমরা প্রথমে সকল সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করি। তারপর সাধারণ এবং অসাধারণ সকল উৎপাদক থেকে প্রতিটির সর্বোচ্চ ঘাত নিয়ে গুণ করি। এটি নিশ্চিত করে যে ফলাফল সকল সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে এবং একই সাথে ক্ষুদ্রতম হবে।
- 1.প্রতিটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক নির্ণয় করুন
- 2.সকল মৌলিক উৎপাদক (সাধারণ এবং অসাধারণ) চিহ্নিত করুন
- 3.প্রতিটি উৎপাদকের বৃহত্তম ঘাত নিয়ে গুণ করুন
উদাহরণ: ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু
১২ = ২² × ৩¹
১৮ = ২¹ × ৩²
সব মৌলিক উৎপাদক: ২ এবং ৩
ল.সা.গু = ২² × ৩² = ৪ × ৯ = ৩৬
২. ভাগ পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিটি বিশেষভাবে জনপ্রিয় কারণ এটি একাধিক সংখ্যার ল.সা.গু একসাথে বের করতে পারে। সংখ্যাগুলোকে পাশাপাশি লিখে ছোট থেকে বড় মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে থাকুন যতক্ষণ না সব সংখ্যা ১ হয়। প্রতিটি ধাপে অন্তত একটি সংখ্যা ভাগ হতে হবে। সব ভাজকের গুণফলই হবে ল.সা.গু। এই পদ্ধতি খুবই সহজ এবং ভুল হওয়ার সম্ভাবনা কম।
- 1.সংখ্যাগুলোকে একটি সারিতে পাশাপাশি লিখুন
- 2.ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা (২, ৩, ৫, ৭...) দিয়ে যে সংখ্যাগুলো ভাগ যায় সেগুলো ভাগ করুন
- 3.যে সংখ্যা ভাগ যায় না সেগুলো নিচে লিখুন যেমন আছে তেমন
- 4.এভাবে চালিয়ে যান যতক্ষণ না সব সংখ্যা ১ হয়
- 5.বাম পাশের সব ভাজক গুণ করুন - এটিই হবে ল.সা.গু
উদাহরণ: ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু
- •২ দিয়ে ভাগ: ১২, ১৮, ২৪ → ৬, ৯, ১২
- •২ দিয়ে ভাগ: ৬, ৯, ১২ → ৩, ৯, ৬
- •২ দিয়ে ভাগ: ৩, ৯, ৬ → ৩, ৯, ৩
- •৩ দিয়ে ভাগ: ৩, ৯, ৩ → ১, ৩, ১
- •৩ দিয়ে ভাগ: ১, ৩, ১ → ১, ১, ১
ভাজকগুলো: ২, ২, ২, ৩, ৩
ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৮ × ৯ = ৭২
স্বর্ণ সূত্র: গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর সম্পর্ক
গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর মধ্যে একটি অসাধারণ গাণিতিক সম্পর্ক আছে যা "স্বর্ণ সূত্র" নামে পরিচিত। এই সূত্রটি শুধুমাত্র দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু এটি এতটাই শক্তিশালী যে বেশিরভাগ পরীক্ষার প্রশ্ন এই সূত্র ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যায়। এই সূত্র মুখস্থ রাখা এবং সঠিকভাবে প্রয়োগ করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
গ.সা.গু × ল.সা.গু = প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা
এই সূত্র দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে সর্বদা প্রযোজ্য এবং অধিকাংশ সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।
মনে রাখুন: এই সূত্র তিন বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষেত্রে কাজ করে না, শুধুমাত্র দুটি সংখ্যার জন্য।
উদাহরণ: সূত্র যাচাই
১২ এবং ১৮ এর ক্ষেত্রে:
গ.সা.গু = ৬
ল.সা.গু = ৩৬
গ.সা.গু × ল.সা.গু = ৬ × ৩৬ = ২১৬
১২ × ১৮ = ২১৬ ✓
অনুপাত দিয়ে গ.সা.গু এবং ল.সা.গু
পরীক্ষায় একটি খুবই সাধারণ ধরনের প্রশ্ন হলো যেখানে দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের গ.সা.গু বা ল.সা.গু দেওয়া থাকে। এই ধরনের প্রশ্ন সহজেই সমাধান করা যায় যদি আপনি অনুপাত এবং গ.সা.গু/ল.সা.গু এর মধ্যে সম্পর্ক বোঝেন।
মূল ধারণা হলো: যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত a : b হয়, তাহলে সংখ্যা দুটিকে ax এবং bx হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে x হলো তাদের গ.সা.গু। কারণ অনুপাত a : b মানে হলো সংখ্যা দুটির মধ্যে সাধারণ উৎপাদক বাদ দিয়ে সরলতম আকারে প্রকাশ করা, এবং সেই সাধারণ উৎপাদকটিই হলো গ.সা.গু।
পদ্ধতি:
- 1.যদি অনুপাত a : b এবং গ.সা.গু = g হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি = ag এবং bg
- 2.যদি অনুপাত a : b এবং ল.সা.গু = L হয়, তাহলে ab এর ল.সা.গু = L, সুতরাং গ.সা.গু = L/(ab)
উদাহরণ:
অনুপাত 3 : 4, গ.সা.গু = 5
সংখ্যা দুটি = 3 × 5 = 15 এবং 4 × 5 = 20
ভগ্নাংশের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু
ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে গ.সা.গু এবং ল.সা.গু বের করার নিয়ম পূর্ণসংখ্যার থেকে কিছুটা আলাদা। এখানে আমাদের লব এবং হর উভয়কে আলাদাভাবে বিবেচনা করতে হয়। এই ধরনের প্রশ্ন বিসিএস পরীক্ষায় মাঝেমধ্যে আসে এবং অনেক পরীক্ষার্থী এখানে ভুল করে থাকেন।
মূল নিয়ম মনে রাখুন: ভগ্নাংশের ল.সা.গু যত বড় সম্ভব লব এবং যত ছোট সম্ভব হর নিয়ে তৈরি হয়। বিপরীতভাবে, ভগ্নাংশের গ.সা.গু যত ছোট সম্ভব লব এবং যত বড় সম্ভব হর নিয়ে তৈরি হয়।
ভগ্নাংশের ল.সা.গু:
ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু) ÷ (হরগুলোর গ.সা.গু)
ভগ্নাংশের গ.সা.গু:
গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) ÷ (হরগুলোর ল.সা.গু)
উদাহরণ: 2/5 এবং 3/5 এর ল.সা.গু
লবগুলোর ল.সা.গু (2, 3) = 6
হরগুলোর গ.সা.গু (5, 5) = 5
ল.সা.গু = 6/5
বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু এবং ল.সা.গু
বীজগাণিতিক রাশির (Algebraic Expressions) ক্ষেত্রে গ.সা.গু এবং ল.সা.গু বের করার নিয়ম পূর্ণসংখ্যার মতোই। শুধু পার্থক্য হলো এখানে সংখ্যার পাশাপাশি চলক (variables) এবং তাদের ঘাতও বিবেচনা করতে হয়। প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) করতে হবে, তারপর সাধারণ উৎপাদক চিহ্নিত করতে হবে।
এই ধরনের প্রশ্ন সাধারণত উচ্চতর গণিত বিভাগে আসে এবং বীজগণিতীয় সূত্রের জ্ঞান প্রয়োজন। যেমন: a² - b² = (a+b)(a-b), a² + 2ab + b² = (a+b)² ইত্যাদি। এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে প্রথমে রাশিকে উৎপাদকে ভাঙতে হবে, তারপর গ.সা.গু বা ল.সা.গু বের করতে হবে।
উদাহরণ: 4(x² - 4) এবং 6(x² + 4x + 4) এর গ.সা.গু
প্রথম রাশি = 4(x + 2)(x - 2) = 2² × (x + 2) × (x - 2)
দ্বিতীয় রাশি = 6(x + 2)² = 2 × 3 × (x + 2)²
সাধারণ উৎপাদক: 2 এবং (x + 2)
ক্ষুদ্রতম ঘাত: 2¹ এবং (x + 2)¹
গ.সা.গু = 2(x + 2)
সাধারণ সমস্যার ধরন এবং সমাধান
বিসিএস এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় গ.সা.গু এবং ল.সা.গু সম্পর্কিত প্রশ্ন সাধারণত কয়েকটি নির্দিষ্ট প্যাটার্নে আসে। এই প্যাটার্নগুলো জানা থাকলে এবং সমাধানের পদ্ধতি আয়ত্ত করলে যেকোনো প্রশ্ন সহজেই সমাধান করা যায়। নিচে সবচেয়ে সাধারণ তিন ধরনের সমস্যা এবং তাদের সমাধান কৌশল দেওয়া হলো।
সমস্যা ১: গুণফল এবং ল.সা.গু দেওয়া, গ.সা.গু বের করা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল 1536, ল.সা.গু 96। গ.সা.গু কত?
সমাধান: গ.সা.গু = গুণফল ÷ ল.সা.গু = 1536 ÷ 96 = 16
সমস্যা ২: গ.সা.গু, ল.সা.গু এবং একটি সংখ্যা দেওয়া, অপরটি বের করা
প্রশ্ন: গ.সা.গু 11, ল.সা.গু 7700, একটি সংখ্যা 275। অপরটি কত?
সমাধান: অপর সংখ্যা = (গ.সা.গু × ল.সা.গু) ÷ প্রথম সংখ্যা
= (11 × 7700) ÷ 275 = 84700 ÷ 275 = 308
সমস্যা ৩: অনুপাত এবং ল.সা.গু দেওয়া, গ.সা.গু বের করা
প্রশ্ন: অনুপাত 7 : 5, ল.সা.গু 140। গ.সা.গু কত?
সমাধান: মনে করি সংখ্যা দুটি 7x এবং 5x
7 এবং 5 পরস্পর মৌলিক, তাই ল.সা.গু(7x, 5x) = 35x
35x = 140, সুতরাং x = 4
গ.সা.গু = x = 4
অনুশীলন প্রশ্ন: ল.সা.গু এবং গ.সা.গু
পরীক্ষার টিপস
পরীক্ষায় গ.সা.গু এবং ল.সা.গু সম্পর্কিত প্রশ্নে ভালো করতে হলে শুধু তত্ত্ব জানলেই হবে না, দ্রুত এবং সঠিকভাবে সমাধান করার কৌশল জানতে হবে। সময় ব্যবস্থাপনা এবং সঠিক পদ্ধতি নির্বাচন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। নিচের টিপসগুলো মেনে চললে আপনি পরীক্ষায় এই বিষয়ে ভালো করতে পারবেন।
- •স্বর্ণ সূত্র মনে রাখুন: গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল
- •অনুপাতের ক্ষেত্রে: সংখ্যা = অনুপাত × গ.সা.গু
- •দ্রুত যাচাই: গ.সা.গু সর্বদা উভয় সংখ্যার চেয়ে ছোট বা সমান হবে
- •ল.সা.গু সর্বদা: উভয় সংখ্যার চেয়ে বড় বা সমান হবে
- •ছোট সংখ্যার ক্ষেত্রে: মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি দ্রুততম
বিগত পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন
বিসিএস এবং অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষায় ল.সা.গু এবং গ.সা.গু থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে। নিচে বিভিন্ন বিসিএস পরীক্ষা থেকে সংগৃহীত প্রকৃত প্রশ্নগুলো দেওয়া হলো যা বিভিন্ন প্যাটার্নের সমস্যা কভার করে।
প্রতিটি প্রশ্নের সাথে বিস্তারিত সমাধান দেওয়া আছে যা আপনাকে সমাধানের পদ্ধতি বুঝতে সাহায্য করবে। এই প্রশ্নগুলো ভালোভাবে অনুশীলন করলে আপনি যেকোনো ধরনের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু সম্পর্কিত প্রশ্ন সমাধান করতে পারবেন।
তাহলে 12(a-b) = 60, সুতরাং a-b = 5।
আবার 12ab = 2448, সুতরাং ab = 204।
a-b = 5 এবং ab = 204 থেকে a = 17, b = 12।
সংখ্যা দুটি = 12×17 = 204 এবং 12×12 = 144
x²y + xy² = xy(x + y) এবং x² + xy = x(x + y)।
গ.সা.গু = x(x + y), ল.সা.গু = xy(x + y)।
স্বর্ণ সূত্র অনুযায়ী:
গ.সা.গু × ল.সা.গু = প্রথম রাশি × দ্বিতীয় রাশি
= xy(x + y) × x(x + y) = x²y(x + y)²
অপর সংখ্যা = (গ.সা.গু × ল.সা.গু) ÷ প্রথম সংখ্যা।
প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
• প্রথম সংখ্যা = 4x² + 20x + 24 = 4(x² + 5x + 6) = 4(x + 2)(x + 3)
• গ.সা.গু = 2x + 4 = 2(x + 2)
• ল.সা.গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48 = 4(x + 2)(x + 3)(x - 2)
এখন সূত্র প্রয়োগ করি:
অপর সংখ্যা = [2(x+2) × 4(x+2)(x+3)(x-2)] ÷ [4(x+2)(x+3)]
= 2(x + 2)(x - 2)
= 2(x² - 4)
লবের ল.সা.গু (2, 3, 6) = 6, হরের গ.সা.গু (5, 5, 15) = 5।
সুতরাং ল.সা.গু = 6/5
অনুশীলন সমস্যা
তত্ত্ব বোঝার পরে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো নিয়মিত অনুশীলন। নিচের সমস্যাগুলো বিভিন্ন স্তরের এবং বিভিন্ন ধরনের। প্রথমে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করুন, তারপর উপরে শেখা পদ্ধতিগুলো ব্যবহার করে যাচাই করুন। নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে আপনার গতি এবং নির্ভুলতা উভয়ই বৃদ্ধি পাবে।
- 1.২৪ এবং ৩৬ এর গ.সা.গু এবং ল.সা.গু বের করুন।
- 2.দুটি সংখ্যার গুণফল ২৫২০ এবং গ.সা.গু ১২। ল.সা.গু কত?
- 3.অনুপাত 5 : 6 এবং গ.সা.গু 7। সংখ্যা দুটি কত?
- 4.৩/৭ এবং ৫/১৪ এর ল.সা.গু কত?
- 5.x² - 9 এবং x² + 6x + 9 এর গ.সা.গু কত?
মূল বিষয়: গ.সা.গু এবং ল.সা.গু গণিতের মৌলিক ধারণা যা সংখ্যা তত্ত্ব, বীজগণিত এবং দৈনন্দিন সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়। স্বর্ণ সূত্র (গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল) এবং মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতিতে দক্ষতা অর্জন করলে যেকোনো ধরনের প্রশ্ন সহজেই সমাধান করা যায়। নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে এই বিষয়ে দক্ষতা বৃদ্ধি করুন।
About the Author