বীজগাণিতিক সূত্রঃ বর্গ ও ঘন পরিচিতি
বর্গ সূত্র, ঘন সূত্র এবং পরীক্ষামূখী শর্টকাট একসাথে শিখুন। a + b ও ab জানা থাকলে a² + b², a³ + b³ মুহূর্তের মধ্যে বের করুন।
বীজগাণিতিক সূত্র কী এবং কেন গুরুত্বপূর্ণ?
বীজগণিতের সূত্রগুলো হলো এমন কিছু গাণিতিক সম্পর্ক যা সর্বদা সত্য — চলকের মান যাই হোক না কেন। এই সূত্রগুলো মুখস্থ করা এবং সঠিকভাবে প্রয়োগ করতে পারলে জটিল গাণিতিক প্রশ্ন মুহূর্তের মধ্যে সমাধান করা যায়।
BCS প্রিলিমিনারি, ব্যাংক নিয়োগ ও সরকারি চাকরির পরীক্ষায় বীজগাণিতিক সূত্র থেকে প্রতি বছর প্রশ্ন আসে। বিশেষত a + b, a - b, ab এর মান দিয়ে a² + b², a³ + b³ বের করার প্রশ্ন খুবই সাধারণ।
বর্গ সূত্র (Square Identities)
বর্গ সূত্রগুলো বীজগণিতের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র। পরীক্ষায় এই সূত্রগুলো সরাসরি এবং পরোক্ষভাবে বারবার ব্যবহার হয়।
মূল বর্গ সূত্রসমূহ:
- •(a + b)² = a² + 2ab + b²
- •(a - b)² = a² - 2ab + b²
- •a² - b² = (a + b)(a - b)
- •(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
সূত্র থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল
উপরের মূল সূত্র থেকে কিছু অত্যন্ত দরকারি ফলাফল পাওয়া যায় যেগুলো পরীক্ষায় সরাসরি কাজে লাগে:
- •a² + b² = (a + b)² - 2ab → a + b এবং ab জানা থাকলে a² + b² বের করা যায়
- •a² + b² = (a - b)² + 2ab → a - b এবং ab জানা থাকলেও a² + b² বের করা যায়
- •(a + b)² - (a - b)² = 4ab → এই সূত্রটি পরীক্ষায় সরাসরি আসে
- •(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)
উদাহরণ: a + b = 7, ab = 12 হলে a² + b² = ?
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= 7² - 2 × 12
= 49 - 24 = 25
উদাহরণ: x + 1/x = 5 হলে x² + 1/x² = ?
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2
= 5² - 2 = 25 - 2 = 23
ঘন সূত্র (Cube Identities)
ঘন সূত্রগুলো বর্গ সূত্রের তুলনায় একটু কঠিন কিন্তু পরীক্ষায় নিয়মিত আসে। বিশেষত a³ + b³ এবং a³ - b³ এর উৎপাদক।
মূল ঘন সূত্রসমূহ:
- •(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
- •(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
- •a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- •a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
ঘন সূত্র থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল
- •a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) → a + b এবং ab থেকে সরাসরি a³ + b³ বের করা যায়
- •a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
- •a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
- •যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ = 3abc → গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ফলাফল
উদাহরণ: a + b = 5, ab = 6 হলে a³ + b³ = ?
পদ্ধতি ১: সরাসরি সূত্র
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) = 5³ - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
পদ্ধতি ২: উৎপাদক সূত্র
a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 12 = 13
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = 5 × (13 - 6) = 5 × 7 = 35
পরীক্ষায় বারবার আসা বিশেষ সূত্র
শর্টকাট সূত্র — এগুলো সরাসরি মনে রাখুন:
- 1.a + b এবং ab জানা → a² + b² = (a+b)² - 2ab
- 2.a - b এবং ab জানা → a² + b² = (a-b)² + 2ab
- 3.a + b এবং a - b জানা → ab = [(a+b)² - (a-b)²] ÷ 4
- 4.x + 1/x জানা → x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2
- 5.x - 1/x জানা → x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2
- 6.x + 1/x জানা → x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের কৌশল
- •প্রশ্নে a+b ও ab দেওয়া থাকলে: প্রথমে a²+b² বের করুন, তারপর a³+b³।
- •প্রশ্নে a+b ও a-b দেওয়া থাকলে: 4ab = (a+b)² - (a-b)² সূত্র ব্যবহার করুন।
- •x + 1/x বা x - 1/x দেওয়া থাকলে: ab = 1 ধরে উপরের শর্টকাট সূত্র সরাসরি প্রয়োগ করুন।
- •a+b+c = 0 থাকলে: a³+b³+c³ = 3abc — আর হিসাব করতে হবে না।
অনুশীলন প্রশ্ন: বীজগাণিতিক সূত্র
বিগত পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন
BCS, ব্যাংক নিয়োগ ও সরকারি চাকরির পরীক্ষায় বীজগাণিতিক সূত্র থেকে আসা প্রশ্নগুলো:
মান বসিয়ে পাই, 4ab = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
তাহলে, ab = 16/4 = 4
x² - 25 = (x + 5)(x - 5)
সুতরাং (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
অতএব, a + x = x + 5, a = 5
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
দেওয়া আছে: a + b + c = 0
তাহলে ডান পাশে: 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
সুতরাং: a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
a³ + b³ + c³ = 3abc
2³ + h × 2 + 10 = 0
8 + 2h + 10 = 0
2h = -18
h = -9
= 7² - 4 × 10
= 49 - 40 = 9
= (√3)³ - 3 × √3
= 3√3 - 3√3 = 0
= 6² - 4 × 8
= 36 - 32 = 4
= [5² + 3²] ÷ 2
= [25 + 9] ÷ 2 = 34 ÷ 2 = 17
= x + 2·(√x · 1/√x) + 1/x
= x + 2 + 1/x
= (x + 1/x) + 2
= 0 + 2 = 2
সুতরাং √x + 1/√x = √2
অনুশীলন সমস্যা
- 1.যদি a + b = 9 এবং ab = 20 হয়, তাহলে a² + b² এবং (a - b)² এর মান বের করুন।
- 2.যদি x - 1/x = 3 হয়, তাহলে x² + 1/x² এবং x³ - 1/x³ এর মান বের করুন।
- 3.a - b = 4 এবং a + b = 10 হলে ab এবং a² - b² এর মান বের করুন।
- 4.যদি a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11 হয়, তাহলে a² + b² + c² এর মান কত?
- 5.x + y = 7 এবং x³ + y³ = 133 হলে xy এর মান কত?
মূল বিষয়: বীজগাণিতিক সূত্র মুখস্থ করা যথেষ্ট নয় — এগুলো কোথায় এবং কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় সেটাই আসল দক্ষতা। প্রতিটি সূত্রের পেছনের যুক্তি বোঝার চেষ্টা করুন এবং নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে প্রয়োগ শিখুন। পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য শর্টকাট সূত্রগুলো আয়ত্ত করুন।
About the Author