বীজগাণিতিক সূত্রঃ বর্গ ও ঘন পরিচিতি
বর্গ সূত্র, ঘন সূত্র এবং পরীক্ষামূখী শর্টকাট একসাথে শিখুন। a + b ও ab জানা থাকলে a² + b², a³ + b³ মুহূর্তের মধ্যে বের করুন।
বীজগাণিতিক সূত্র কী এবং কেন গুরুত্বপূর্ণ?
লক্ষ্য করে দেখুন, পরীক্ষায় প্রায়ই a + b আর ab এর মান দিয়ে a² + b² বা a³ + b³ বের করতে বলা হয়। অনেকে তখন প্রথমে সমীকরণ সমাধান করে a আর b এর আলাদা মান বের করার চেষ্টা করেন, যা সময়সাপেক্ষ এবং ভুল হওয়ার সম্ভাবনাও বেশি। অথচ একটা সূত্র জানা থাকলে কাজটা মাত্র দুই লাইনে শেষ হয়ে যায়: a² + b² = (a + b)² - 2ab।
এই কারণেই বীজগাণিতিক সূত্র এত গুরুত্বপূর্ণ। এগুলোকে বলা হয় অভেদ (identity), অর্থাৎ a ও b এর যেকোনো মানের জন্যই এগুলো সত্য। একবার প্রমাণটা বুঝে নিলে সূত্র ভুলে গেলেও নিজে থেকেই বের করে নেওয়া যায়, আর মুখস্থ রাখলে পরীক্ষায় সময় বাঁচে।
BCS প্রিলিমিনারি, ব্যাংক নিয়োগ ও সরকারি চাকরির পরীক্ষায় বীজগাণিতিক সূত্র থেকে প্রতি বছর প্রশ্ন আসে। বিশেষত a + b, a - b, ab এর মান দিয়ে a² + b², a³ + b³ বের করার প্রশ্ন খুবই সাধারণ।
বর্গ সূত্র (Square Identities)
বর্গ সূত্রগুলো দিয়েই শুরু করা ভালো, কারণ এগুলো সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় এবং বাকি সব সূত্রের ভিত্তি। মাত্র চারটা মূল সূত্র মনে রাখলেই বেশিরভাগ প্রশ্ন কাভার হয়ে যায়, তাই এগুলো সবার আগে পাকা করে নেওয়া উচিত।
একটা জিনিস খেয়াল রাখবেন, প্রশ্নে সূত্রটা সবসময় সোজাসুজি আসে না। কখনো (a + b)² বিস্তার করতে বলা হবে, আবার কখনো a + b আর ab দিয়ে a² + b² বের করতে বলা হবে, অর্থাৎ সূত্রটাকে উল্টো দিক থেকে প্রয়োগ করতে হবে। এই উল্টো প্রয়োগটাই পরীক্ষায় বেশি আসে, আর এখানেই বেশিরভাগ শিক্ষার্থী আটকে যান।
মূল বর্গ সূত্রসমূহ:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- a² - b² = (a + b)(a - b)
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
সূত্র থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল
উপরের মূল সূত্র থেকে কিছু অত্যন্ত দরকারি ফলাফল পাওয়া যায় যেগুলো পরীক্ষায় সরাসরি কাজে লাগে:
- a² + b² = (a + b)² - 2ab → a + b এবং ab জানা থাকলে a² + b² বের করা যায়
- a² + b² = (a - b)² + 2ab → a - b এবং ab জানা থাকলেও a² + b² বের করা যায়
- (a + b)² - (a - b)² = 4ab → এই সূত্রটি পরীক্ষায় সরাসরি আসে
- (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)
উদাহরণ: a + b = 7, ab = 12 হলে a² + b² = ?
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= 7² - 2 × 12
= 49 - 24 = 25
উদাহরণ: x + 1/x = 5 হলে x² + 1/x² = ?
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2
= 5² - 2 = 25 - 2 = 23
সূত্রগুলো কেন সত্য? (প্রমাণ)
অনেকে সূত্র মুখস্থ করেন কিন্তু পরীক্ষার হলে গিয়ে ভুলে যান, কারণ মুখস্থ করা আর বোঝা এক জিনিস নয়। সূত্রগুলো আসলে সাধারণ গুণ থেকেই আসে, নিজে একবার হাতে করে দেখলে ভুলে গেলেও মুহূর্তের মধ্যে আবার বের করে নিতে পারবেন।
প্রমাণ: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
প্রমাণ: (a - b)² = a² - 2ab + b²(a - b)²
= (a - b)(a - b)
= a·a - a·b - b·a + b·b
= a² - ab - ab + b²
= a² - 2ab + b²
যাচাই: a² - b² = (a + b)(a - b), যখন a = 8, b = 3
বাম পাশ: a² - b² = 8² - 3² = 64 - 9 = 55
ডান পাশ: (a + b)(a - b) = 11 × 5 = 55
উভয় পাশ সমান, তাই সূত্রটি সত্য ✓
ঘন সূত্র (Cube Identities)
বর্গ সূত্র আয়ত্ত হয়ে গেলে ঘন সূত্রে আসুন। এখানে একটু বেশি সাবধান হতে হয়, কারণ বিস্তারে চারটি পদ থাকে আর বিয়োগের সূত্রে চিহ্ন পালাক্রমে বদলায়, এটাই সবচেয়ে বেশি ভুল হওয়ার জায়গা। তবে দুশ্চিন্তার কিছু নেই, গঠনটা বর্গ সূত্রের মতোই, তাই প্যাটার্নটা একবার ধরতে পারলে মনে রাখা কঠিন হবে না।
a³ + b³ এবং a³ - b³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার প্রশ্ন পরীক্ষায় নিয়মিত আসে, আর a + b, ab এর মান দিয়ে সরাসরি a³ + b³ বের করার প্রশ্নও কম না। নিচে সূত্র মনে রাখার একটা সহজ কৌশল (SOAP), গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এবং প্রতিটির জন্য উদাহরণ দেওয়া হলো।
মূল ঘন সূত্রসমূহ:
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
- (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
SOAP কৌশল: উৎপাদক সূত্র মনে রাখার সহজ উপায়
a³ + b³ এবং a³ - b³ এর উৎপাদক সূত্র দুটি দেখতে প্রায় একই রকম, তাই মনে রাখতে গিয়ে অনেকে গুলিয়ে ফেলেন। ইংরেজি SOAP শব্দটি দিয়ে সহজে মনে রাখা যায়:
- S (Same): প্রথম বন্ধনীর চিহ্ন মূল রাশির চিহ্নের মতোই (a³ + b³ হলে প্রথম বন্ধনীতে +, a³ - b³ হলে -)
- O (Opposite): দ্বিতীয় বন্ধনীর মাঝের পদের চিহ্ন উল্টো হয় (ab এর চিহ্ন সবসময় বিপরীত)
- A P (Always Positive): দ্বিতীয় বন্ধনীর শেষ পদ (b²) সবসময় ধনাত্মক থাকে
SOAP শব্দটি মনে রাখলেই যেকোনো সময় খুব সহজেই নিজে থেকে সূত্রটি সাজিয়ে নিতে পারবেন। ফলে সূত্র দুটো মনে রাখা আরও সহজ হবে এবং প্রয়োজনে খুব দ্রুত সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারবেন।
ঘন সূত্র থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল
- a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) → a + b এবং ab থেকে সরাসরি a³ + b³ বের করা যায়
- a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
- a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
- যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ = 3abc → গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ফলাফল
উদাহরণ: a + b = 5, ab = 6 হলে a³ + b³ = ?
পদ্ধতি ১: সরাসরি সূত্র
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) = 5³ - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
পদ্ধতি ২: উৎপাদক সূত্র
a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 12 = 13
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = 5 × (13 - 6) = 5 × 7 = 35
উদাহরণ: a = 5, b = 2 হলে a³ - b³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে যাচাই করুন
সরাসরি হিসাব: a³ - b³ = 5³ - 2³ = 125 - 8 = 117
উৎপাদক সূত্র (SOAP): a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
= (5 - 2)(5² + 5×2 + 2²) = 3 × (25 + 10 + 4) = 3 × 39 = 117
উভয় পদ্ধতিতে একই ফল পাওয়া গেল ✓
পরীক্ষায় বারবার আসা বিশেষ সূত্র
শর্টকাট সূত্র — এগুলো সরাসরি মনে রাখুন:
- a + b এবং ab জানা → a² + b² = (a+b)² - 2ab
- a - b এবং ab জানা → a² + b² = (a-b)² + 2ab
- a + b এবং a - b জানা → ab = [(a+b)² - (a-b)²] ÷ 4
- x + 1/x জানা → x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2
- x - 1/x জানা → x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2
- x + 1/x জানা → x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
উদাহরণ: a - b = 5, ab = 6 হলে a² + b² = ?
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 5² + 2 × 6 = 25 + 12 = 37
উদাহরণ: x - 1/x = 3 হলে x³ - 1/x³ = ?
x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x)
= 3³ + 3 × 3 = 27 + 9 = 36
পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের কৌশল
- প্রশ্নে a+b ও ab দেওয়া থাকলে: প্রথমে a²+b² বের করুন, তারপর a³+b³।
- প্রশ্নে a+b ও a-b দেওয়া থাকলে: 4ab = (a+b)² - (a-b)² সূত্র ব্যবহার করুন।
- x + 1/x বা x - 1/x দেওয়া থাকলে: ab = 1 ধরে উপরের শর্টকাট সূত্র সরাসরি প্রয়োগ করুন।
- a + b + c = 0 থাকলে: a³+b³+c³ = 3abc — আর হিসাব করতে হবে না।
সাধারণ ভুল ধারণা
- (a + b)² = a² + b² নয়: মাঝের পদ 2ab বাদ দেওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল। সঠিক: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² ≠ a² - b²: এটি a² - b² (বর্গের অন্তর) এর সাথে গুলিয়ে ফেলা হয়। সঠিক: (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a - b)³ এর চিহ্ন ভুল করা: সঠিক বিস্তার হলো a³ - 3a²b + 3ab² - b³, পদগুলোর চিহ্ন পালাক্রমে পরিবর্তিত হয়
- a³ + b³ ≠ (a + b)³: (a + b)³ থেকে a³ + b³ পেতে 3ab(a + b) বাদ দিতে হয়, এই ধাপটি ভুলে যাওয়া সাধারণ ভুল
সাধারণ সমস্যার ধরন এবং সমাধান
এতক্ষণ যা শিখলেন তা এবার প্রশ্নে কীভাবে কাজে লাগে দেখা যাক। বীজগাণিতিক সূত্রের প্রশ্ন আসলে হাতে গোনা কয়েকটা প্যাটার্নেই ঘুরেফিরে আসে, নিচে তিনটা সাধারণ ধরন আর সমাধান দেওয়া হলো। এই প্যাটার্নগুলো চিনে ফেলতে পারলে পরীক্ষায় নতুন কোনো প্রশ্ন দেখলেও ঘাবড়াতে হবে না।
সমস্যা ১: a + b এবং ab দেওয়া, a³ + b³ বের করা
প্রশ্ন: a + b = 4, ab = 3 হলে a³ + b³ = ?
সমাধান: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 4³ - 3 × 3 × 4 = 64 - 36 = 28
সমস্যা ২: a - b এবং ab দেওয়া, a² + b² বের করা
প্রশ্ন: a - b = 5, ab = 6 হলে a² + b² = ?
সমাধান: a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 5² + 2 × 6 = 25 + 12 = 37
সমস্যা ৩: x + 1/x দেওয়া, x³ + 1/x³ বের করা
প্রশ্ন: x + 1/x = 4 হলে x³ + 1/x³ = ?
সমাধান: ab = x × 1/x = 1 ধরে সূত্র প্রয়োগ করি:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= 4³ - 3 × 4 = 64 - 12 = 52
বিগত পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন
তত্ত্ব যতই বুঝুন, আসল পরীক্ষা হয় আগের বছরের প্রশ্নে হাত দিলে। নিচে বিভিন্ন বিসিএস পরীক্ষা থেকে নেওয়া বাস্তব প্রশ্ন এবং তার বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হলো, প্রতিটা মিলিয়ে দেখুন কোন সূত্র কোথায় প্রয়োগ হচ্ছে।
অনুশীলন সমস্যা
পড়ে বোঝা আর নিজে সমাধান করতে পারা এক জিনিস না, তাই এবার নিজে চেষ্টা করার পালা। নিচের সমস্যাগুলোর প্রতিটায় একেকটা সূত্র প্রয়োগ করতে হয়, আগে কলম দিয়ে নিজে সমাধান করুন, তারপর উপরের সূত্র মিলিয়ে দেখুন। এভাবে অনুশীলন করলেই সূত্রগুলো দীর্ঘদিন মনে থাকবে, শুধু পড়ে গেলে থাকবে না।
- যদি a + b = 9 এবং ab = 20 হয়, তাহলে a² + b² এবং (a - b)² এর মান বের করুন
- যদি x - 1/x = 3 হয়, তাহলে x² + 1/x² এবং x³ - 1/x³ এর মান বের করুন।
- a - b = 4 এবং a + b = 10 হলে ab এবং a² - b² এর মান বের করুন।
- যদি a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11 হয়, তাহলে a² + b² + c² এর মান কত?
- x + y = 7 এবং x³ + y³ = 133 হলে xy এর মান কত?
মূল বিষয়: বীজগাণিতিক সূত্র মুখস্থ করাটাই শেষ কথা নয়, কোথায় আর কীভাবে প্রয়োগ করবেন সেটাই আসল দক্ষতা। প্রতিটা সূত্রের পেছনের যুক্তি বোঝার চেষ্টা করুন, নিয়মিত অনুশীলন করুন, আর পরীক্ষার হলে সময় বাঁচাতে শর্টকাট সূত্রগুলো হাতের কাছে রাখুন।
About the Author